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チェビシェフの不等式の証明

記事を書けばチェビシェフの不等式の証明の勉強になると思ったので書きます。案の定勉強になりましたが、予想以上に時間がかかった・・・(主にはてなブログとTeXの相性の問題で)

証明のスケッチは

1. 確率分布の分散の定義
2. 確率変数の値によって2つのグループに分ける
3. $x_i - \mu >= k\sigma$ の部分を置き換えて不等式にする
4. $x_i - \mu < k\sigma$ の部分を捨てる
5. あとは天下り的に

今回は離散型確率分布について証明しますが、 $\sum_{}$ を $\int$ に変えれば連続型確率分布の証明になります。

証明

前提として $\sigma > 0, k > 0$ とする。

確率分布の分散の定義より
${\displaystyle \sigma^2 = \sum_{i = 0}^n (x_i - \mu)^2 P(X=x_i) }$

$x_i$ のうち、 $|x_i - \mu|$ が $k\sigma$ より大きいものと小さいものを分ける。

${\displaystyle \sigma^2 = \sum_{|x_i - \mu| \geq k\sigma} (x_i - \mu)^2 P(X=x_i) + \sum_{|x_i - \mu| < k\sigma} (x_i - \mu)^2) P(X=x_i) }$

ここで $\sum_{|x_i - \mu| \geq k\sigma} (x_i - \mu)^2 P(X=x_i)$ においては $|x_i - \mu| \geq k\sigma$ なので、 $(x_i - \mu)^2 \geq k^2\sigma^2$ 。従って

${\displaystyle \sigma^2 \geq \sum_{|x_i - \mu| > k\sigma} k^2\sigma^2 P(X=x_i) + \sum_{|x_i - \mu| \leq k\sigma} (x_i - \mu)^2 P(X=x_i) }$

$\sum_{|x_i - \mu| \leq k\sigma} (x_i - \mu)^2 P(X=x_i)$ は正なので、引いても不等号の向きは変わらない。

${\displaystyle \sigma^2 \geq \sum_{|x_i - \mu| > k\sigma} k^2\sigma^2 P(X=x_i) }$

${\displaystyle \sigma^2 \geq k^2\sigma^2 \sum_{|x_i - \mu| > k\sigma} P(X=x_i) }$

$\sigma > 0, k > 0$ より、両辺を $k^2\sigma^2$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{k^2} \geq \sum_{|x_i - \mu| > k\sigma} P(X=x_i) }$

${\displaystyle \frac{1}{k^2} \geq P(|x_i - \mu| > k\sigma) }$

証明終わり

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